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Triangles rectangles de coordonnées entières

Difficulté : Moyen (25%) Origine : Projet Euler n°91

Les points P (x1, y1) and Q (x2, y2) ont des coordonnées entières et sont reliés à l'origine pour former le triangle OPQ.

Triangle

Il y a exactement 14 triangles rectangles formés à partir de deux points de coordonnées entières entre 0 et 2 inclus (0 ≤ x1, y1, x2, y2 ≤ 2).

 Cas ou n=2

Si on choisit 0 ≤ x1, y1, x2, y2 ≤ 50, combien de triangles rectangles peut-on former ?

On affichera le résultat avec print.

Triangles rectangles de coordonnées entières
1
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Chaine de carrés de chiffres

Difficulté : Facile (5%) Origine : Projet Euler n°92

Une chaine de nombre peut être crée en ajoutant à chaque fois le carré des chiffres du nombre précédent.

Par exemple :

44 → 32 → 13 → 10 → 1 → 1
85 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → 89

Une chaine qui arrive sur 1 ou 89 sera bloquée dans une boucle sans fin. Ce qui est remarquable est que pour n'importe quel nombre de départ, on arrivera sur 1 ou 89.

Combien de nombres de départ inférieurs à dix million vont arriver à 89 ?

On affichera le résultat avec print.

Chaine de carrés de chiffres
1
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Expressions arithmétiques

Difficulté : Moyen (35%) Origine : Projet Euler n°93

En utilisant chaque chiffre de l'ensemble {1, 2, 3, 4} exactement une fois, et en utilisant les quatre opérations arithmétiques (+, −, *, /) et des parenthèses, il est possible d'obtenir différents entiers positifs.

Par exemple :

8 = (4 * (1 + 3)) / 2
14 = 4 * (3 + 1 / 2)
19 = 4 * (2 + 3) − 1
36 = 3 * 4 * (2 + 1)

La concaténation des chiffres n'est pas permise comme 12+34.

En utilisant l'ensemble {1, 2, 3, 4}, il est possible d'obtenir 31 nombres distincts parmi lesquels 36 est le maximum et chaque nombres de 1 à 28 est obtenu mais pas 29.

Trouver l'ensemble de 4 chiffres distincts a < b < c < d, pour lesquels la liste des nombres consécutifs de 1 à n qu'on puisse obtenir avec des opérations arithmétiques est la plus longue. On donnera la réponse sous la forme d'un mot : abcd.

On affichera le résultat avec print.

Expressions arithmétiques
1
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Triangles presque équilatéraux

Difficulté : Moyen (35%) Origine : Projet Euler n°94

Il est facile de prouver qu'aucun triangle equilatéral n'a à la fois les longueurs des cotés entières et son aire entière. Cependant, le triangle presque équilatéral 5-5-6 a une aire de 12 unité d'aire.

On définit un triangle presque équilatéral comme un triangle qui a deux cotés égaux et le troisième diffère de moins de 1 des deux autres.

Trouver la somme des périmètres de tous les triangles presque equilatéraux qui ont les longueurs des cotés entières ainsi que leur aire et dont le périmètre n'exède pas un milliard.

On affichera le résultat avec print.

Triangles presque équilatéraux
1
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Chaines amicales

Difficulté : Moyen (30%) Origine : Projet Euler n°95

Les diviseurs propres d'un nombre sont tous les diviseurs de ce nombre hormis lui même. Par exemple, les diviseurs propres de 28 sont 1, 2, 4, 7, et 14. Comme la somme de ces diviseurs est égal à 28, on appelle un tel nombre un nombre parfait.

La somme des diviseurs propres de 220 est 284 et celle de 284 est 220 formant ainsi une chaine de deux nombres. 220 et 284 sont dits amicaux.

Les chaines plus longues sont moins connues. Par exemple, en commençant avec 12496, et en calculant à chaque fois la somme des diviseurs propres, on peut former une chaine de 5 nombres :

12496 → 14288 → 15472 → 14536 → 14264 (→ 12496 → ...)

Comme cette chaine revient à son point de dépat, on l'appelle une chaine amicale.

Trouver le plus petit membre de la chaine amicale la plus longue sans éléments qui dépasse un million.

On affichera le résultat avec print.

Chaines amicales
1
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

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