Recueil d'exercices pour apprendre Python au lycée

Ensembles de Mandelbrot et Julia

Difficulté : Moyenne à difficile
Prérequis : les listes

Nous allons présenter sur cette page les ensembles de Mandelbrot et Julia.

Cette activité peut faire suite à l'étude de la suite logistique qu'on peut trouver ici. En effet, nous allons présenter les ensembles de Mandelbrot et Julia en partant de la fonction logistique $$ f(x)=\mu x(1-x)$$ (ce qui n'est pas la définition classique).

Introduction des complexes pour l'activité :

Pour étudier ces ensembles, nous avons besoin des nombres complexes. Comme ils ne sont plus dans les programmes de lycées que pour dans une option et que nous ne les manipulons finalement que peu ici, je vais en faire une très brève présentation pour pouvoir quand même tout faire sans les connaitre avant :

Dans le plan, chaque point peut être repéré par ses coordonées (x,y). A ces coordonnées, on peut associer un nombre qu'on appellera complexe (pas parce qu'il est compliqué mais parce qu'il est composé de deux nombres réels) et qu'on notera $$ x+yi$$. Tous les calculs se font comme d'habitude avec une lettre à un détail près : $$ i^2=-1$$.

Exemple : (2 + 3i) + (4-i) = 6 + 2i
(2+3i)(4-i) = 8 + 12i -2i -3i² = 8 +10i -3(-1) = 11 + 10i

Cela nous permet de définir dans un certain sens, l'addition et la multiplication de points du plan.

En python, pour obtenir le nombre complexe associé à un point, il suffit d'ecrire complex(x,y).
Inversement, si on a un nombre complexe z, l'abscisse du point associé s'obtient en écrivant z.real et son ordonnée z.imag.
Autre fonction qui va nous servir : pour obtenir la distance entre notre point et l'origine O du repère quand on connait son nombre complexe associé z, il suffit de taper abs(z). Cela nous permettra de savoir quand un point s'eloigne trop.

La suite logistique version complexe

Difficulté : Moyenne

Comme pour la suite logistique, nous allons nous intéressé à la suite $$ u_{n+1}=\mu u_n(1-u_n)$$ et $$ u_0=0.5$$ mais cette fois-ci, au lieu de se restreindre au cas où $$ \mu \in [2;4]$$, nous allons prendre pour $$ \mu $$ des valeurs complexes.

Nous allons observer graphiquement l'évolution de cette suite en fonction de $$ \mu $$.

Dans un premier temps, créer une fonction u(mu,n) qui donne la liste des termes de la suite de $$ u_0$$ jusqu'à $$ u_n$$.

Dans un deuxième temps, compléter la fonction dessiner(mu,n) qui place les points associés aux nombres complexes $$ u_0$$ jusqu'à $$ u_n$$ (on pourra les relier pour voir l'évolution).

Remarque : Seules les valeurs de la suite seront vérifiées.

Ensemble de Mandelbrot

Comme on peut le voir sur les graphiques précédents et comme dans le cas de la suite logistique classique, selon la valeur de $$ \mu $$, la suite va converger ou osciller ou bien s'éloigner vers l'infini (comme on commence à le voir sur le quatrième graphique).

On va maintenant s'intéresser aux suites qui s'éloignent vers l'infini. Pour pouvoir déterminer si une suite tend vers l'infini ou pas, on va calculer ses termes jusqu'à $$ u_{200}$$ et on va estimer que si la distance à l'origine d'un des termes dépasse 1000, alors la suite tend vers l'infini.

Créer une fonction Mandelbrot(mu) qui renvoie le rang du premier terme de la suite dont la distance à l'origine est supérieure à 1000. Si quand on a calculé $$ u_{200}$$, la distance à l'origine n'a jamais dépassé 1000 alors on renvoie 200.

Indication : Il vaut mieux s'inspirer de la fonction u(mu,n) pour créer la fonction Mandelbrot(mu) que chercher à l'utiliser (pour éviter trop de calculs inutiles car il va falloir calculer vite pour afficher l'image prévue)

Remarque : Si tous les tests sont validés, vous verrez apparaitre l'ensemble de Mandelbrot où on a simplement pour chaque point (qui représente $$ \mu $$) associé une couleur au nombre renvoyé par la fonction Mandelbrot(mu). En noir ce sont les points tels que la suite ne semble pas s'eloigner à l'infini. C'est un exemple de courbe dite fractale car elle est formée de partie qui sont une réplique exacte du tout (Comme la vache qui rit qui a une boucle d'oreille dans laquelle on revoit la vache qui rit qui a une boucle d'oreille ...).
Pour les curieux, vous pouvez voir le code pour afficher l'image (et pourquoi pas la modifier pour zoomer par exemple) dans l'onglet au dessus du code.

Ensembles de Julia

Les ensembles de Julia sont aussi formés à partir de la suite logistique $$ u_{n+1}=\mu u_n(1-u_n)$$ mais cette fois ci on fixe la valeur de $$ \mu $$ et on s'intéresse aux valeurs (complexes) de $$ u_0$$ qui donnent une suite qui s'éloigne vers l'infini. Il y a donc une infinité d'ensembles de Julia (puisque chaque valeur de $$ \mu $$ va en donner un différent). Comme pour l'ensemble de Mandelbrot, pour pouvoir déterminer si une suite tend vers l'infini ou pas, on va calculer ses termes jusqu'à $$ u_{200}$$ et on va estimer que si la distance à l'origine d'un des termes dépasse 1000, alors la suite tend vers l'infini.

Créer une fonction $$ Julia(mu,u0)$$ (en modifiant simplement la fonction Mandelbrot(mu) précédente) qui renvoie le rang du premier terme de la suite dont la distance à l'origine est supérieure à 1000. Si quand on a calculé $$ u_{200}$$, la distance à l'origine n'a jamais dépassé 1000 alors on renvoie 200.

Remarques : Comme dans le cas de l'ensemble de Mandelbrot, les ensembles de Julia sont souvent des fractales.
Voici quelques valeurs intéressantes de $$ \mu $$ que vous pouvez tester :

MU = complex(-1,0.05)
# Autres valeurs de MU interessantes :
MU = complex(-0.7925,0.67)
MU = complex(-0.8,-0.613)
MU = complex(-0.92,-0.48)
MU = complex(0.456,-0.902)

Pour les curieux, vous pouvez voir le code pour afficher l'image (et pourquoi pas la modifier pour zoomer par exemple) dans l'onglet au dessus du code.