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Remplacement de chiffres dans un nombre premier

Difficulté : Moyen (15%) Origine : Projet Euler n°51

En remplaçant le premier chiffre dans un nombre de 2 chiffres de la forme *3, on peut trouver six sur les neufs possibles qui sont des nombres premiers : 13, 23, 43, 53, 73 et 83.

En remplaçant le troisième et le quatrième chiffres dans un nombre de la forme 56**3 par un même chiffre, ce nombre de cinq chiffre est le premier exemple ayant sept nombres premiers sur les dix générés : 56003, 56113, 56333, 56443, 56663, 56773, et 56993. Ainsi, 56003 est le plus petit nombre premier ayant cette propriété.

Trouver le plus petit nombre premier qui, en remplaçant une partie de ce nombre (pas forcément des chiffres adjacents) avec un même chiffre engendre une famille de huit nombres premiers.

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Multiples permutés

Difficulté : Facile Origine : Projet Euler n°52

On peut voir que le nombres 125874 et son double 251748 contiennent exactement les mêmes chiffres mais dans un ordre différent.

Trouver le plus petit entier positif x tel que 2x, 3x, 4x, 5x, et 6x contiennent les mêmes chiffres.

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Selection combinatoire

Difficulté : Facile Origine : Projet Euler n°53

Il y a exactement 10 façon de selectionner 3 chiffres parmi 5, 12345 :

123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, et 345 En combinatoire, on utilise la notation $$ C_5^3=10$$.

En général, on a la formule : $$ C_n^r={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}$$ où $$ r\le n$$, et $$ n!=n\times (n-1)\times ...\times 3\times 2\times 1$$, et la convention $$ 0!=1$$.

Ce n'est que pour n=23 qu'une valeur dépasse un million : $$ C_{23}^{10}=1144066$$.

Combien de valeur de $$ C_n^r$$ (non necessairement distincts) pour 1 ≤ n ≤ 100, sont supérieurs à un million ?

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Mains au poker

Difficulté : Moyenne (10%) Origine : Projet Euler n°54

Au Poker, une main est constituée de cinq cartes et ces mains peuvent être rangées, de la moins forte à la plus forte, de la manière suivante :

La carte la plus haute : La valeur de la carte la plus haute.  
Une paire : Deux cartes de même valeur.  
Deux paires : Deux paires différentes.  
Brelan : Trois cartes de même valeur.  
Suite : Toutes les cartes de valeurs consécutives.  
Couleur : Toutes les cartes de la même couleur.  
Full : Un brelan accompagné d'une paire.  
Carré : Quatre cartes de même valeur.  
Quinte flush : Une suite d'une seule couleur.

Les cartes sont rangées dans cet ordre (Attention dans la liste donnée, ce sont les initiales anglaises qui sont utilisées) :

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Ten (10), Jack (Valet), Queen (Dame), King (Roi), Ace (As).

Si deux joueurs ont des mains de même rang, alors c'est la valeur la plus haute qui fait ce range qui gagne. Par exemple une pair de 8 bat une pair de 5. Voir l'exemple 1 ci-dessous.
Si malgré cela, il y a encore égalité, c'est alors la carte de plus haute valeur qui donne le gagnant. Par exemple si les deux joueurs ont une pair de dame, on compare les valeurs de la plus haute carte hors dame. S'il y a encore égalité, on compare les deuxièmes plus hautes etc. Voir l'exemple 4 ci-dessous.

Voici des exemples de parties de deux joueurs où sont données les mains des deux joueurs suivies du gagnant :

Partie n°1 :
5H 5C 6S 7S KD (Paire de 5)
2C 3S 8S 8D TD (Paire de 8)
Gagnant : Joueur 2

Partie n°2 :
5D 8C 9S JS AC (Plus haute carte : As)
2C 5C 7D 8S QH (Plus haute carte : Dame)
Gagnant : Joueur 1

Partie n°3 :
2D 9C AS AH AC (Brelan d'As)
3D 6D 7D TD QD (Couleur)
Gagnant : Joueur 2

Partie n°4 :
4D 6S 9H QH QC (Paire de Dame, plus haute carte 9)
3D 6D 7H QD QS (Paire de Dame, plus haute carte 7)
Gagnant : Joueur 1

Partie n°5:
2H 2D 4C 4D 4S (Full de 4 par les 2)
3C 3D 3S 9S 9D (Full de 3 par les 9)
Gagnant : Joueur 1

On a placé dans la variable parties 1000 mains aléatoires de deux joueurs. Chaque ligne contient dix cartes séparées par un simple espaces : Les cinq premières correspondent au joueur 1 et les cinq dernières sont les cartes du joueur 2. On pourra supposer que toutes les mains sont valides (pas de caractères invalides ni de cartes qui se répètent), chaque main est donnée sans ordre spécifique (elles ne sont pas déjà classées) et dans chaque partie, il y a un gagnant (pas d'égalité).

Combien de parties le joueur 1 gagne-t-il ?

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Nombres de Lychrel

Difficulté : Facile Origine : Projet Euler n°55

Si on considère le nombre 47 et qu'on lui additionne son renversé, on obtient 47 + 74 = 121 qui est un palindrome.

Tous les nombres ne donnent pas de palindromes aussi rapidement. Par exemple :

349 + 943 = 1292,
1292 + 2921 = 4213
4213 + 3124 = 7337

Donc, il faut trois itérations en partant de 349 pour arriver à un palindrome.

Pour l'instant, personne n'a réussi à prouver que certains nombres comme 196 ne donneront jamais de palindrome en itérant ainsi. Un tel nombre, qui ne produit jamais de palindrome en itérant ce procédé (ajouter le nombre et son renversé) est appelé nombre de Lychrel. Pour ce problème, on supposera qu'un nombre est de Lychrel si on ne prouve pas le contraire.
De plus, on a pour tous les nombres inférieurs à 10 000 : soit on obtient un palindrome en moins de 50 itérations, soit aucun ordinateur n'a jusqu'à présent obtenu un palindrome en partant de ce nombre (on le supposera donc de Lychrel).

10677 est le premier nombre qui nécessite plus de 50 itérations pour obtenir un nombre palindrome : On obtient 4668731596684224866951378664 après 53 itérations.

De manière surprenante, il y a des nombres palindromes qui sont eux même de Lychrel comme par exemple 4994.

Combien existent-ils de nombres de Lychrel inférieurs à 10 000 ?

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