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La méthode d'Euler pour représenter la fonction exponentielle.

La fonction exponentielle est définie comme la fonction vérifiant $$ f(0)=1$$ et $$ f^{\prime }(x)=f(x)$$ pour tout réel x. On souhaite tracer la courbe représentative de f à partir de ces informations. Pour cela nous allons utiliser la méthode d'Euler.

La méthode d'Euler consiste à construire une suite de points $$ A_n$$ dont les coordonnées seront notées $$ (x_n,y_n)$$ de la manière suivante :

1. $$ A_0$$ est le point de la courbe qu'on connait c'est à dire le point de coordonnées $$ (0,1)$$.
2. Les abscisses $$ x_n$$ augmente de toujours la même valeur qu'on notera pas. Autrement dit $$ x_{n+1}=x_n+pas$$.
3. Pour construire $$ A_1$$, on va utiliser le fait que la tangente en $$ A_0$$ est une bonne approximation de la courbe. Or on connait mieux ici la tangente que la courbe puisque son coefficient directeur est $$ f^{\prime }(0)=f(0)=y_0=1$$. Donc en écrivant le taux d'accroissement, on a $$ f^{\prime }(0)\approx \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{y_1-y_0}{pas}$$. On en déduit $$ y_1=f^{\prime }(0).pas+y_0=pas+1$$ puisque $$ f^{\prime }(0)=f(0)=y_0=1$$.
4. Pour construire $$ A_2$$, on réitère le même procédé mais en partant de $$ A_1$$. On a $$ f^{\prime }(1)\approx \frac{y_2-y_1}{x_1-x_0}=\frac{y_2-y_1}{pas}$$. On en déduit $$ y_2=f^{\prime }(1).pas+y_1=y_1(pas+1)=(pas+1{)}^2$$ puisque $$ f^{\prime }(1)=f(1)\approx y_1$$.
5. On continue ainsi la construction des points $$ A_n$$ dont les coordonnées sont finalement $$ x_n=n.pas$$ et $$ y_n=(pas+1{)}^n$$. Voici une représentation de la situation :
6. Une fois cette liste de points établie, on les relie par des segments.

Créer un programme qui prend en entrée un pas et le nombre n de segments à construire et qui trace la courbe approximative de la fonction exponentielle. Pour pouvoir vérifier la validité du programme, on demande en plus de renvoyer (avec return) la liste des ordonnées des points $$ A_n$$.

Pour tracer la courbe, on utilisera la fonction plt.plot(liste_x, liste_y) qui demande la liste liste_x de toutes les abscisses des points à tracer et la liste liste_y des ordonnées des points à tracer. On pourra trouver sur internet plein d'options de modification (couleur, façon de tracer, de marquer les points etc.) de la fonction plt.plot.

Entrée : un réel pas et un entier n.

Sortie : Un programme qui trace n segments de l'approximation de la courbe représentative de l'exponentielle par la méthode d'Euler de pas valant pas. Pour pouvoir vérifier la validité du programme, il faudra de plus renvoyer (avec return) la liste liste_y des ordonnées des points tracés.

En rouge est tracé la courbe exacte de la fonction exponentielle.

Approximation du nombre e

La méthode d'Euler nous permet d'obtenir les valeurs de la fonction exponentielle de proche en proche. On va l'utiliser ici pour obtenir plus particulièrement la valeur de $$ e=exp(1)$$. Pour cela, nous allons reprendre les formules obtenues dans l'étape 5 : $$ x_n=n.pas$$ et $$ y_n=(pas+1{)}^n$$.

Si on veut que $$ y_n$$ nous donne la valeur approximative de $$ e$$, il faut que $$ x_n=n.pas$$ soit égal à 1. Autrement dit $$ pas={\displaystyle \frac{1}{n}}$$ ce qui donne en remplaçant $$ y_n={(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$$.

En utilisant cette formule, créer une fonction qui prend en entrée $$ n$$ et donne en sortie une approximation de $$ e$$.