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Autre conjecture de Goldbach

Difficulté : Facile Origine : Projet Euler n°46

Christian Goldbach a proposé la conjecture suivante : tout nombre impair peut s'ecrire comme la somme d'un nombre premier et du double d'un carré.

9 = 7 + 2×1²
15 = 7 + 2×2²
21 = 3 + 2×3²
25 = 7 + 2×3²
27 = 19 + 2×2²
33 = 31 + 2×1²

Il se trouve que cette conjecture est fausse.

Quel est le plus petit impair qui ne peut pas s'écrire comme la somme d'un nombre premier et du double d'un carré ?

On affichera le résultat avec print.

Facteurs premiers distincts

Difficulté : Facile Origine : Projet Euler n°47

Les deux premiers nombres consécutifs qui ont deux facteurs premiers distincts sont :

14 = 2 × 7
15 = 3 × 5

Les trois premiers nombres consecutifs qui ont 3 facteurs premiers distincts sont :

644 = 2² × 7 × 23
645 = 3 × 5 × 43
646 = 2 × 17 × 19.

Trouver les quatre premiers entiers consecutifs qui ont quatre facteurs premiers distincts. Quel est le premier de ces nombres ?

Note : Votre programme risque d'être lent, il faudra soit l'optimiser, soit passer par un interpreteur extérieur (et valider seulement la réponse ici).

On affichera le résultat avec print.

Somme de puissances

Difficulté : Facile Origine : Projet Euler n°48

La série $$ 1^1+2^2+3^3+...+{10}^{10}=10405071317$$.

Trouver les dix derniers chiffres de la série $$ 1^1+2^2+3^3+...+{1000}^{1000}$$.

On affichera le résultat avec print.

Permutations premières

Difficulté : Facile Origine : Projet Euler n°49

La suite arithmétique 1487, 4817 et 8147 pour laquelle chaque terme augmente de 3330 est inhabituelle car :
(i) chacun des trois termes est premier
(ii) chacun des nombres de 4 chiffres est une permutations des autres.

Il n'y a pas de suite arithmétique croissante composée de nombres de 1, 2 ou 3 chiffres ayant ces deux propriétés mais il y en a une autre de 4 chiffres.

Quel nombre de 12 chiffres peut-on former en concaténant les 3 termes de cette autre suite ?

On affichera le résultat avec print.

Somme de nombres premiers consécutifs

Difficulté : Facile Origine : Projet Euler n°50

Le nombre premier 41 peut s'écrire comme la somme de six nombres premiers consécutifs :

41 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13

C'est la somme la plus longue de nombres premiers consécutifs qui donne un nombre premier inférieur à 100.

La somme la plus longue de nombres premiers qui donne un nombre premier inférieur à 1000 contient 21 termes et vaut 953.

Quel nombre premier inférieur à un million peut s'écrire comme la somme la plus longue de nombres premiers consecutifs ?

On affichera le résultat avec print.