Apprendre Python dans le secondaire

Classe de Première - Suites numériques

Exercice n° 1 : Calcul des termes d'une suite définie par $$ u_n=f(n)$$

Difficulté : Très facile
Programme officiel

On considère la suite $$ (u_n)$$ définie pour tout entier naturel $$ n$$ par $$ u_n={\displaystyle \frac{3n-9}{2n+1}}$$.

Créer une fonction qui prend en entrée un entier naturel $$ n$$ et renvoie en sortie la valeur de $$ u_n$$.

Entrée : Un entier naturel $$ n$$.

Sortie : Le programme doit afficher la valeur de $$ u_n$$ définie ci-dessus.

Exercice n° 2 : Calcul des termes d'une suite définie par récurrence I

Difficulté : Facile
Programme officiel

Pour calculer à l'aide d'un programme les termes d'une suite définie par récurrence, l'idée est tout simplement de calculer au fur et à mesure les valeurs de la suite en les sauvegardant dans une seule variable u qui commence à $$ u_0$$.

Dans la fenêtre ci-dessous, on a déjà commencé à écrire un programme pour calculer la valeur de $$ u_n$$ définie par $$ u_0=5$$ et $$ u_{n+1}=2u_n-3$$. Remplacez les @ par ce qu'il faut pour que le programme fonctionne.

Entrée : Un entier n.

Sortie : Le programme doit afficher la valeur de $$ u_n$$ définie ci-dessus.

Exercice n° 3 : Calcul des termes d'une suite définie par récurrence II

Difficulté : Facile
Programme officiel

Dans cet exercice, on considère une suite u définie par $$ u_{n+1}=3-4u_n$$ et de premier terme $$ u_0$$. Le but de cet exercice est de créer un programme qui prend en entrée les valeurs de n et $$ u_0$$ et affiche la valeur de $$ u_n$$.

Entrée : Un entier n et $$ u_0$$.

Sortie : La valeur de $$ u_n$$.

Exercice n° 4 : Calcul des termes d'une suite définie par récurrence III

Difficulté : Facile
Programme officiel

Dans cet exercice, on considère une suite u définie par $$ u_{n+1}=u_n+n+1$$ et de premier terme $$ u_0$$. Le but de cet exercice est de créer un programme qui prend en entrée les valeurs de n et $$ u_0$$ et affiche la valeur de $$ u_n$$.

Entrée : Un entier n et $$ u_0$$.

Sortie : La valeur de $$ u_n$$.

Exercice n° 5 : Calcul des termes d'une suite définie par récurrence IV

Difficulté : Facile
Programme officiel

Le but de cet exercice est de calculer les termes de la suite définie par $$ u_{n+1}=a.u_n+b$$ et de premier terme $$ u_0$$.

Entrée : Les valeurs de a, b, $$ u_0$$ et n.

Sortie : La valeur de $$ u_n$$.

Exercice n° 6 : Calcul des termes d'une suite définie par récurrence V

Difficulté : Facile
Notion utilisée : Les listes
Programme officiel

Le but de cet exercice est de calculer tous les termes de la suite définie par $$ u_{n+1}=u_n^2-5$$ et de premier terme $$ u_0=0$$ jusqu'à un certain rang.

Entrée : Le valeur de N jusqu'à laquelle on souhaite calculer.

Sortie : La liste des valeurs de $$ (u_n)$$ pour n allant de 0 jusqu'à N (compris).

Exercice n° 7 : Calcul de sommes I

Difficulté : Facile
Programme officiel

Pour un $$ N$$ donné, on souhaite calculer la somme des termes $$ u_0+u_1+\cdots +u_{N-1}+u_N$$ de la suite $$ (u_n)$$ définie par $$ u_0=2$$ et $$ u_{n+1}=2u_n-1$$. Pour cela, compléter et traduire en python l'algorithme suivant :

ma_fonction(N) :
    u ← ...
    S ← u
    Pour i allant de 1 à ...
        u ← ...
        S ← ...
    Renvoyer  ...

Exercice n° 8 : Calcul de sommes II

Difficulté : Facile
Programme officiel

Le but de cet exercice est de faire une fonction qui calcule la valeur de la somme $$ 1^p+2^p+3^p+\cdots +n^p$$ pour des valeurs de n et p données.

Entrée : Un entier naturel n et un entier p (qui peut être négatif).

Sortie : La valeur de la somme $$ 1^p+2^p+3^p+\cdots +n^p$$.

Exercice n° 9 : Calcul de la somme des termes d'une suite arihmétique

Difficulté : Facile
Programme officiel

Le but de cet exercice est de faire une fonction qui calcule la valeur de la somme $$ u_i+u_{i+1}+\cdots +u_{j-1}+u_j$$ pour des valeurs entières de i et j données dans le cas où $$ (u_n)$$ est une suite arithmétique de premier terme $$ u_0$$ et de raison $$ r$$.

Entrée : Les valeurs de $$ u_0$$ et $$ r$$ suivis des deux entiers naturels i et j avec i<j.

Sortie : La valeur de la somme $$ u_i+u_{i+1}+\cdots +u_{j-1}+u_j$$ où $$ (u_n)$$ est une suite arithmétique.

Exercice n° 10 : Calcul de la somme des termes d'une suite géométrique

Difficulté : Facile
Programme officiel

Le but de cet exercice est de faire une fonction qui calcule la valeur de la somme $$ u_i+u_{i+1}+\cdots +u_{j-1}+u_j$$ pour des valeurs entières de i et j données dans le cas où $$ (u_n)$$ est une suite géométrique de premier terme $$ u_0$$ et de raison $$ q$$.

Entrée : Les valeurs de $$ u_0$$ et $$ q$$ ($$ q\ne 1$$) suivis des deux entiers naturels i et j avec i<j.

Sortie : La valeur de la somme $$ u_i+u_{i+1}+\cdots +u_{j-1}+u_j$$ où $$ (u_n)$$ est une suite géométrique.

Exercice n°11 Somme de termes d'une suite

Difficulté : Facile Origine : Hackerrank

On pose $$ T_n=n^2-(n-1{)}^2$$ ainsi que $$ S_n=T_1+T_2+T_3+...+T_n$$.

Etant donné n, afficher la valeur de $$ S_n$$.

Entrée : La valeur de l'entier naturel non nul n.

Sortie : La valeur de $$ S_n$$.

Exercice n° 12 : Recherche de seuil I

Difficulté : Facile
Programme officiel

On considère la suite définie par $$ u_{n+1}=0.5.u_n$$ et de premier terme $$ u_0$$. Plus la valeur de n augmente, plus les valeurs de $$ u_n$$ se rapprochent de 0.

Le but de cet exercice est de faire un programme qui permet de déterminer pour un réel positif e donné, quel est le plus petit entier n tel que la valeur de $$ u_n$$ soit inférieure à e.

Exemple : si e=0,2 et $$ u_0=1$$. Comme $$ u_1=0.5$$, $$ u_2=0.25$$ et $$ u_3=0,125$$, on voit que le plus petit entier tel que $$ u_n<e$$ est n=3.

Entrée : Un réel positif $$ u_0$$ et un réel strictement positif e

Sortie : Le plus petit entier tel que $$ u_n<e$$

Exercice n° 13 : Recherche de seuil II

Difficulté : Facile
Programme officiel

On considère désormais la suite définie par $$ u_{n+1}=2.u_n$$ et de premier terme $$ u_0$$. Cette suite augmente indéfiniment lorsque n augmente.

On se demande à partir de quel rang cette suite pourra dépasser une valeur e donnée en entrée. Ecrire un programme qui donnera la plus petite valeur de n telle que $$ u_n>e$$.

Entrée : Deux réels $$ u_0$$ et e.

Sortie : Le plus petit entier n tel que $$ u_n>e$$. S'il n'en existe pas, afficher "IMPOSSIBLE".

Exercice n° 14 : Recherche de seuil III (Escargot de Gardner)

Difficulté : Facile

Nous allons nous intéresser à la progression de l'escargot de Gardner. Je vous renvoie vers cette vidéo pour une présentation : Youtube.

En résumé, ce qui va nous intéresser ici est que la n-ieme heure, le pourcentage de progression de l'escargot sur l’élastique augmente de $$ \frac{1}{n}$$. Autrement dit, le pourcentage de progression la n-ieme heure est $$ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$$. On se demande naturellement au bout de combien de temps ce pourcentage de progression dépassera une valeur donnée e.

Écrire un programme qui prend en entrée une valeur e et affiche en sortie la plus petite valeur de n pour laquelle le pourcentage de progression dépasse e.

Entrée : Un nombre strictement positif e pas trop grand (regarder la vidéo pour comprendre pourquoi).

Sortie : La plus petite valeur de n tel que $$ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}>e$$.

Exercice n° 15 : Factorielle

Difficulté : Facile
Programme officiel

En mathématiques, il est fréquent que l'on ait besoin de calculer $$ 1\times 2\times 3\times 4\times \cdots \times n$$. On note le résultat n! et on le nomme factorielle de n.

Ainsi, on a

• $$ 3!=1\times 2\times 3=6$$,
• $$ 4!=24$$,
• $$ 5!=120$$,
• $$ 1!=1$$.
• Par convention, $$ 0!=1$$.

Le but de cet exercice est tout simplement d'afficher la factorielle du nombre n donné en entrée.

Entrée : Un entier naturel n .

Sortie : Afficher n! .

Exercice n° 16 : Afficher les termes d'une suite

Difficulté : moyenne Prérequis : Listes et matplotlib

Compléter le script suivant pour qu'il affiche les 10 premiers termes de la suite $$ (u_n)$$ définie par $$ u_0=10$$ et $$ u_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{u}_n+2$$.

Pour cela, on utilisera la fonction plt.scatter(X,Y) où X représente la liste des abscisses des points que l'on souhaite tracer et Y la liste des ordonnées. On pourra voir le cours sur le module matplotlib pour plus d'information.

Compléments :

Pour ne pas surcharger cette page, voici quelques approfondissements possibles disponibles sur d'autres pages :

• Programmer des suites de manière récursive
• La suite de Syracuse
• La suite de Van Eck
• Systèmes proies-prédateurs (Volterra)