Apprendre Python dans le secondaire

Classe de Première - Suites numériques

Exercice n° 1 : Calcul des termes d'une suite définie par $u_n=f\left(n\right)$

Difficulté : Très facile
Programme officiel

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\frac{3n-9}{2n+1}$.

Créer une fonction qui prend en entrée un entier naturel $n$ et renvoie en sortie la valeur de $u_n$.

Entrée : Un entier naturel $n$.

Sortie : Le programme doit afficher la valeur de $u_n$ définie ci-dessus.

Exercice n° 2 : Calcul des termes d'une suite définie par récurrence I

Difficulté : Facile
Programme officiel

Pour calculer à l'aide d'un programme les termes d'une suite définie par récurrence, l'idée est tout simplement de calculer au fur et à mesure les valeurs de la suite en les sauvegardant dans une seule variable u qui commence à $u_0$.

Dans la fenêtre ci-dessous, on a déjà commencé à écrire un programme pour calculer la valeur de $u_n$ définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=2u_n-3$. Remplacez les @ par ce qu'il faut pour que le programme fonctionne.

Entrée : Un entier n.

Sortie : Le programme doit afficher la valeur de $u_n$ définie ci-dessus.

Exercice n° 3 : Calcul des termes d'une suite définie par récurrence II

Difficulté : Facile
Programme officiel

Dans cet exercice, on considère une suite u définie par $u_{n+1}=3-4u_n$ et de premier terme $u_0$. Le but de cet exercice est de créer un programme qui prend en entrée les valeurs de n et $u_0$ et affiche la valeur de $u_n$.

Entrée : Un entier n et $u_0$.

Sortie : La valeur de $u_n$.

Exercice n° 4 : Calcul des termes d'une suite définie par récurrence III

Difficulté : Facile
Programme officiel

Dans cet exercice, on considère une suite u définie par $u_{n+1}=u_n+n+1$ et de premier terme $u_0$. Le but de cet exercice est de créer un programme qui prend en entrée les valeurs de n et $u_0$ et affiche la valeur de $u_n$.

Entrée : Un entier n et $u_0$.

Sortie : La valeur de $u_n$.

Exercice n° 5 : Calcul des termes d'une suite définie par récurrence IV

Difficulté : Facile
Programme officiel

Le but de cet exercice est de calculer les termes de la suite définie par $u_{n+1}=a.u_n+b$ et de premier terme $u_0$.

Entrée : Les valeurs de a, b, $u_0$ et n.

Sortie : La valeur de $u_n$.

Exercice n° 6 : Calcul des termes d'une suite définie par récurrence V

Difficulté : Facile
Notion utilisée : Les listes
Programme officiel

Le but de cet exercice est de calculer tous les termes de la suite définie par $u_{n+1}=u_n^2-5$ et de premier terme $u_0=0$ jusqu'à un certain rang.

Entrée : Le valeur de N jusqu'à laquelle on souhaite calculer.

Sortie : La liste des valeurs de $\left(u_n\right)$ pour n allant de 0 jusqu'à N (compris).

Exercice n° 7 : Calcul de sommes I

Difficulté : Facile
Programme officiel

Pour un $N$ donné, on souhaite calculer la somme des termes $u_0+u_1+\cdots +u_{N-1}+u_N$ de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=2u_n-1$. Pour cela, compléter et traduire en python l'algorithme suivant :

ma_fonction(N) :
    u ← ...
    S ← u
    Pour i allant de 1 à ...
        u ← ...
        S ← ...
    Renvoyer  ...

Exercice n° 8 : Calcul de sommes II

Difficulté : Facile
Programme officiel

Le but de cet exercice est de faire une fonction qui calcule la valeur de la somme $1^p+2^p+3^p+\cdots +n^p$ pour des valeurs de n et p données.

Entrée : Un entier naturel n et un entier p (qui peut être négatif).

Sortie : La valeur de la somme $1^p+2^p+3^p+\cdots +n^p$.

Exercice n° 9 : Calcul de la somme des termes d'une suite arihmétique

Difficulté : Facile
Programme officiel

Le but de cet exercice est de faire une fonction qui calcule la valeur de la somme $u_i+u_{i+1}+\cdots +u_{j-1}+u_j$ pour des valeurs entières de i et j données dans le cas où $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$.

Entrée : Les valeurs de $u_0$ et $r$ suivis des deux entiers naturels i et j avec i<j.

Sortie : La valeur de la somme $u_i+u_{i+1}+\cdots +u_{j-1}+u_j$ où $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique.

Exercice n° 10 : Calcul de la somme des termes d'une suite géométrique

Difficulté : Facile
Programme officiel

Le but de cet exercice est de faire une fonction qui calcule la valeur de la somme $u_i+u_{i+1}+\cdots +u_{j-1}+u_j$ pour des valeurs entières de i et j données dans le cas où $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$.

Entrée : Les valeurs de $u_0$ et $q$ ($q\ne 1$) suivis des deux entiers naturels i et j avec i<j.

Sortie : La valeur de la somme $u_i+u_{i+1}+\cdots +u_{j-1}+u_j$ où $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique.

Exercice n°11 Somme de termes d'une suite

Difficulté : Facile Origine : Hackerrank

On pose $T_n=n^2-(n-1{)}^2$ ainsi que $S_n=T_1+T_2+T_3+...+T_n$.

Etant donné n, afficher la valeur de $S_n$.

Entrée : La valeur de l'entier naturel non nul n.

Sortie : La valeur de $S_n$.

Exercice n° 12 : Recherche de seuil I

Difficulté : Facile
Programme officiel

On considère la suite définie par $u_{n+1}=\mathrm{0.5.}{u}_n$ et de premier terme $u_0$. Plus la valeur de n augmente, plus les valeurs de $u_n$ se rapprochent de 0.

Le but de cet exercice est de faire un programme qui permet de déterminer pour un réel positif e donné, quel est le plus petit entier n tel que la valeur de $u_n$ soit inférieure à e.

Exemple : si e=0,2 et $u_0=1$. Comme $u_1=0.5$, $u_2=0.25$ et $u_3=0,125$, on voit que le plus petit entier tel que $u_n<e$ est n=3.

Entrée : Un réel positif $u_0$ et un réel strictement positif e

Sortie : Le plus petit entier tel que $u_n<e$

Exercice n° 13 : Recherche de seuil II

Difficulté : Facile
Programme officiel

On considère désormais la suite définie par $u_{n+1}=2.u_n$ et de premier terme $u_0$. Cette suite augmente indéfiniment lorsque n augmente.

On se demande à partir de quel rang cette suite pourra dépasser une valeur e donnée en entrée. Ecrire un programme qui donnera la plus petite valeur de n telle que $u_n>e$.

Entrée : Deux réels $u_0$ et e.

Sortie : Le plus petit entier n tel que $u_n>e$. S'il n'en existe pas, afficher "IMPOSSIBLE".

Exercice n° 14 : Recherche de seuil III (Escargot de Gardner)

Difficulté : Facile

Nous allons nous intéresser à la progression de l'escargot de Gardner. Je vous renvoie vers cette vidéo pour une présentation : Youtube.

En résumé, ce qui va nous intéresser ici est que la n-ieme heure, le pourcentage de progression de l'escargot sur l’élastique augmente de $\frac{1}{n}$. Autrement dit, le pourcentage de progression la n-ieme heure est $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$. On se demande naturellement au bout de combien de temps ce pourcentage de progression dépassera une valeur donnée e.

Écrire un programme qui prend en entrée une valeur e et affiche en sortie la plus petite valeur de n pour laquelle le pourcentage de progression dépasse e.

Entrée : Un nombre strictement positif e pas trop grand (regarder la vidéo pour comprendre pourquoi).

Sortie : La plus petite valeur de n tel que $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}>e$.

Exercice n° 15 : Factorielle

Difficulté : Facile
Programme officiel

En mathématiques, il est fréquent que l'on ait besoin de calculer $1\times 2\times 3\times 4\times \cdots \times n$. On note le résultat n! et on le nomme factorielle de n.

Ainsi, on a

• $3!=1\times 2\times 3=6$,
• $4!=24$,
• $5!=120$,
• $1!=1$.
• Par convention, $0!=1$.

Le but de cet exercice est tout simplement d'afficher la factorielle du nombre n donné en entrée.

Entrée : Un entier naturel n .

Sortie : Afficher n! .

Exercice n° 16 : Afficher les termes d'une suite

Difficulté : moyenne Prérequis : Listes et matplotlib

Compléter le script suivant pour qu'il affiche les 10 premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=10$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+2$.

Pour cela, on utilisera la fonction plt.scatter(X,Y) où X représente la liste des abscisses des points que l'on souhaite tracer et Y la liste des ordonnées. On pourra voir le cours sur le module matplotlib pour plus d'information.

Compléments :

Pour ne pas surcharger cette page, voici quelques approfondissements possibles disponibles sur d'autres pages :

• Programmer des suites de manière récursive
• La suite de Syracuse
• La suite de Van Eck
• Systèmes proies-prédateurs (Volterra)