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La méthode d'Euler pour représenter la fonction exponentielle.
La fonction exponentielle est définie comme la fonction vérifiant et
La méthode d'Euler consiste à construire une suite de points
est le point de la courbe qu'on connait c'est à dire le point de coordonnéesA 0 .( 0 , 1 ) - Les abscisses
augmente de toujours la même valeur qu'on notera pas. Autrement ditx n .x n + 1 = x n + p a s - Pour construire
, on va utiliser le fait que la tangente enA 1 est une bonne approximation de la courbe. Or on connait mieux ici la tangente que la courbe puisque son coefficient directeur estA 0 . Donc en écrivant le taux d'accroissement, on af ′ ( 0 ) = f ( 0 ) = y 0 = 1 . On en déduitf ′ ( 0 ) ≈ y 1 − y 0 x 1 − x 0 = y 1 − y 0 p a s puisquey 1 = f ′ ( 0 ) . p a s + y 0 = p a s + 1 .f ′ ( 0 ) = f ( 0 ) = y 0 = 1 - Pour construire
, on réitère le même procédé mais en partant deA 2 . On aA 1 . On en déduitf ′ ( 1 ) ≈ y 2 − y 1 x 1 − x 0 = y 2 − y 1 p a s puisquey 2 = f ′ ( 1 ) . p a s + y 1 = y 1 ( p a s + 1 ) = ( p a s + 1 ) 2 .f ′ ( 1 ) = f ( 1 ) ≈ y 1 - On continue ainsi la construction des points
dont les coordonnées sont finalementA n etx n = n . p a s . Voici une représentation de la situation :y n = ( p a s + 1 ) n - Une fois cette liste de points établie, on les relie par des segments.
Créer un programme qui prend en entrée un pas et le nombre n de segments à construire et qui trace la courbe approximative de la fonction exponentielle. Pour pouvoir vérifier la validité du programme, on demande en plus de renvoyer (avec return
) la liste des ordonnées des points
Pour tracer la courbe, on utilisera la fonction plt.plot(liste_x, liste_y)
qui demande la liste liste_x de toutes les abscisses des points à tracer et la liste liste_y des ordonnées des points à tracer. On pourra trouver sur internet plein d'options de modification (couleur, façon de tracer, de marquer les points etc.) de la fonction plt.plot
.
Entrée : un réel pas et un entier n.
Sortie : Un programme qui trace n segments de l'approximation de la courbe représentative de l'exponentielle par la méthode d'Euler de pas valant pas. Pour pouvoir vérifier la validité du programme, il faudra de plus renvoyer (avec
return
) la liste liste_y des ordonnées des points tracés.
En rouge est tracé la courbe exacte de la fonction exponentielle.