Apprendre les bases de Python pour réussir en N.S.I.

Classe de Première - Second degré

Exercice n°1 : Calcul du discriminant

Difficulté : Très facile

Le but de cet exercice est de créer un programme qui donne le discriminant $$ \mathrm{\Delta }$$ d'un polynôme du second degré ax²+bx+c.

Entrée : Les coefficients a, b et c du polynôme du second degré

Sortie : Le discriminant $$ \mathrm{\Delta }$$

Exercice n°2 : Nombre de racines d'un polynôme du second degré

Difficulté : Très Facile

Écrire un programme qui prend en entrée les coefficients a, b et c d'un polynôme du second degré et donne en sortie le nombre de racines réelles du polynôme.

Entrée : les coefficients a, b et c d'un polynôme du second degré.

Sortie : Le nombre de solutions réelles (juste le nombre, en chiffre).

Exercice n°3 : Racines d'un polynôme du second degré

Difficulté : Très Facile

Écrire un programme qui prend en entrée les coefficients a, b et c d'un polynôme du second degré et donne en sortie les racines réelles du polynôme.

Entrée : les coefficients a, b et c d'un polynôme du second degré.

Sortie : Les solutions réelles de $$ a{x}^2+bx+c=0$$: On renverra "Pas de solution", la solution ou les solutions (séparées par une virgule, la plus petite en premier) selon les cas.

Exemples : ma_fonction(1,0,2) doit renvoyer "Pas de solution" car $$ x^2+2=0$$ n'a pas de solution.
ma_fonction(1,0,-4) doit renvoyer (-2,2) dans cet ordre car les solutions de $$ x^2-4=0$$ sont -2 et 2.

Exercice n°4 : Forme canonique

Difficulté : Très Facile

Écrire un programme qui prend en entrée les coefficients a, b et c d'un polynôme du second degré $$ P$$ et donne en sortie $$ \alpha $$ et $$ beta$$ de la forme canonique $$ P(x)=a(x-\alpha {)}^2+\beta $$ .

Entrée : les coefficients a, b et c d'un polynôme du second degré.

Sortie : Les valeurs de $$ \alpha $$ et $$ \beta $$ séparés par une virgule.

Exercice n°5 : Maximum ou minimum

Difficulté : Très Facile

Écrire un programme qui prend en entrée les coefficients a, b et c d'un polynôme du second degré $$ P$$ et donne en sortie la phrase "Le polynôme possède un ... qui vaut ..." où les premiers petits points sont à remplacer par "maximum" ou "minimum" et les seconds par la valeur de ce maximum.

Entrée : les coefficients a, b et c d'un polynôme du second degré.

Sortie : La phrase correcte.

Exemples : Si le polynôme est $$ P(x)=x^2+3$$, la phrase attendue est "Le polynôme possède un minimum qui vaut 3". Si le polynôme est $$ P(x)=-x^2+2x+1$$, la phrase attendue est "Le polynôme possède un maximum qui vaut 2".

Indication : Attention de bien respecter parfaitement ce qui est écrit entre guillemet "" (y compris les accents).
On pourra utiliser la fonction format pour facilement insérer des valeur de variables dans une chaine de caractères.

Exercice n°6 : Racines d'un polynôme du premier ou second degré

Difficulté : Facile Notion utilisée : Liste

Écrire un programme qui prend en entrée une liste de coefficients d'un polynôme $$ P$$ et qui renvoie les solutions de l'éqution $$ P(x)=0$$

Entrée : Une liste de coefficients d'un polynôme $$ P$$ (le premier coefficient correspond au degré le plus haut et le dernier au coefficient constant c'est à dire $$ P(0)$$).

Sortie : Les solutions réelles de $$ P(x)=0$$ : On renverra "Pas de solution", la solution ou les solutions (séparées par une virgule, la plus petite en premier) selon les cas. On ne traitera QUE les cas où le degré est 1 ou 2. Pour des degrés autres que 1 ou 2, on renverra "Je ne sais pas faire"

Exemples : ma_fonction([1,0,2]) doit renvoyer "Pas de solution" car $$ x^2+2=0$$ n'a pas de solution.
ma_fonction([1,0,-4]) doit renvoyer (-2,2) dans cet ordre car les solutions de $$ x^2-4=0$$ sont -2 et 2.
ma_fonction([2,1]) doit renvoyer -0.5 car la solution de $$ 2x+1=0$$ est $$ -\frac{1}{2}$$.
ma_fonction([1,2,3,4]) doit renvoyer "Je ne sais pas faire" car le degré de $$ P(x)=x^3+2x^2+3x+4$$ est 3.

Remarque : il n'y aura pas de pièges du style [0,2,1] qui n'est pas un polynôme de degré 2 mais 1. Cependant, pour les plus rapides, vous pouvez essayer de prévoir ce genre de pièges avec votre fonction.

Exercice n°7 : Déterminer deux nombres connaissant leur somme $$ s$$ et leur produit $$ p$$.

Programme officiel
Difficulté : Facile

Ecrire une fonction qui prend en entrée deux nombres $$ s$$ et $$ p$$ et qui renvoie en sortie les deux nombres (séparés par une virgule, le plus petit en premier) dont la somme vaut $$ s$$ et leur produit $$ p$$. On renverra "Pas de solution" dans le cas où c'est impossible et deux fois le même si c'est le cas.

Exercice n°8 : Racines d'un polynôme bicarré.

Difficulté : Moyen
Notion probablement utile : Liste

Écrire un programme qui prend en entrée les coefficients a, b et c du polynôme $$ P(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$$ et donne en sortie les racines réelles du polynôme.

Entrée : les coefficients a, b et c de $$ P$$.

Sortie : Les solutions réelles de $$ a{x}^4+b{x}^2+c=0$$ : On renverra "Pas de solution", la solution ou les solutions (dans une liste, rangée dans l'ordre croissant, sans doublon) selon les cas.

Exemples : ma_fonction(1,0,2) doit renvoyer "Pas de solution" car $$ x^4+2=0$$ n'a pas de solution.
ma_fonction(1,0,-1) doit renvoyer (-1,1) dans cet ordre car les solutions de $$ x^4-1=0$$ sont -1 et 1.
ma_fonction(1,-5,4) doit renvoyer (-2,-1,1,2) dans cet ordre car les solutions de $$ x^4-5x^2+4=0$$ sont -2, -1,1 et 2 (car on peut remarquer que $$ x^4-5x^2+4=(x^2-4)(x^2-1)$$.

Exercice n°9 : Recherche de seuil

Difficulté : Facile

On étudie l'évolution d'une certaine bactérie. Son nombre évolue selon la fonction $$ f(t)=3t^2+69t+150$$ où $$ t$$ représente le temps en heure.
Ecrire une fonction qui prend en entrée un nombre $$ n$$ de bactérie et donne en sortie l'heure à partir de laquelle le nombre de bactérie dépasse $$ n$$. On affichera "Impossible" lorsque ce nombre ne sera jamais atteint après le moment initial (t=0).

Exercice n°10 : Compréhension d'algorithme

Difficulté : Facile

On considère l'algorithme suivant :

a ← 1
b ← 2
Tant que b-a > 0.01 
    x ← (a+b)/2
    si x²-x-1 < 0
        a ← x
    sinon
        b ← x
afficher x

1. Quel est le rôle de cet algorithme ?
2. Ecrire dans la fenêtre ci-dessous la traduction de cet algorithme en python. ( Il n'y a pas d'auto correction)
   Quelle valeur de x obtient-on ?
3. Déterminer la valeur exacte de x.

Exercice n°11 : Factorisation d'un polynôme du troisième degré admettant une racine connue.

Programme officiel
Difficulté : Difficile

On considère un polynôme du troisième degré $$ P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$$ dont on connait une racine $$ r$$.

1. Montrer qu'on peut alors le factoriser sous la forme $$ P(x)=a(x-r)(x^2+px+q)$$. En déduire les valeurs de $$ p$$ et $$ q$$ en fonction de $$ a$$, $$ b$$, $$ c$$ et $$ d$$.
2. Programmer ci-dessous une fonction qui prend en entrée les réels $$ a$$, $$ b$$, $$ c$$ et $$ d$$ ainsi que la valeur $$ r$$ de la racine réelle connue et donne en sortie les autres solutions de $$ P(x)=0$$.
   On renverra avec return "Pas de solution" s'il n'y en a pas, et dans le cas où il y en a deux, on donnera le couple avec la plus petite en premier séparé d'une virgule.

Exercice n°12 : Factorisation de $$ x^n-1$$ par $$ x-1$$, de $$ x^n-a^n$$ par $$ x-a$$.

Programme officiel
Difficulté : Moyenne

Le but de cet exercice est de montrer que $$ x^n-a$$ peut s'ecrire $$ (x-a)P_n(x)$$ où $$ P_n(x)$$ est un polynôme en $$ x$$ que l'on va déterminer.

1. On va d'abord s'intéresser au cas où $$ a=1$$.
   Déterminer les valeurs de $$ P_1(x)$$, $$ P_2(x)$$ et vérifier que $$ P_3(x)=x^2+x+1$$.
2. Déterminer la formule de $$ P_n(x)$$ en fonction de $$ x$$ et $$ n$$.
3. On s'intéresse à présent au cas où $$ a$$ est un réel quelconque.
   Déterminer les valeurs de $$ P_1(x)$$, $$ P_2(x)$$ et vérifier que $$ P_3(x)=x^2+ax+a^2$$.
4. Vérifier que pour $$ n\ge 1$$, on a $$ P_n(x)=x^{n-1}+a{x}^{n-2}+a^2{x}^{n-3}+...+a^{n-2}x+a^{n-1}$$.
5. Ecrire une fonction qui prend en entrée les valeurs de $$ n$$ et $$ a$$ et donne en sortie la liste des coefficients de $$ P_n$$ en commençant par ceux de plus haut degré.
   Par exemple si $$ n=3$$ et $$ a=3$$, alors $$ P_n(x)=x^2+3x+9$$, la fonction devra donc renvoyer la liste [1,3,9].