Apprendre les bases de Python pour réussir en N.S.I.

Bandes rouges, vertes et bleues I

Difficulté : Moyen (30%) Origine : Projet Euler n°116

On considère une bande de longueur 5 cases noires qu'on peut recouvrir avec des bandes de différentes couleurs : rouges (de longueur 2), vertes (de longueur 3) et bleue (de longueur 4).

Si on choisit les bandes rouges, il y a exactement 7 façons de le faire :

Si on choisit les bandes vertes, il y a 3 façons de le faire :

Et si on choisit les bandes bleues, il y a 2 façons de la faire.

En supposant que les couleurs ne peuvent pas êtres mélangées, il y a 7 + 3 + 2 = 12 façons de placer des bandes colorées sur une bande de longueur 5 au total.

De combien de façons peut-on recouvrir une bande noire de longueur 50 avec des bandes de couleurs rouges, vertes et bleues et sans mélanger les couleurs ?

Note : Ce problème est en relation avec le problème 117.

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Bandes rouges, vertes et bleues II

Difficulté : Moyen (35%) Origine : Projet Euler n°117

En utilisant des combinaisons de cases noires et de bandes rouges mesurant 2 cases, de bandes vertes mesurant 3 cases et de bandes bleues de longueurs 4 cases, il est possible de recouvrir une bande de 5 cases de longueur d'exactemennt 15 façons différentes :

De combien de façons peut-on recouvrir une bande de mesurant 50 cases ?

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Ensembles pandigitaux de nombres premiers

Difficulté : Moyen (45%) Origine : Projet Euler n°118

En utilisant tous les chiffres de 1 à 9 et en les concaténant librement pour former des entiers, on peut former différents ensembles. Par exemple l'ensemble {2,5,47,89,631} est remarquable car il ne contient que des nombres premiers

Combien d'ensembles distincts contenant chaque chiffre de un à neuf exactement une fois contiennent uniquement des nombres premiers ?

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Puissances de sommes de chiffres

Difficulté : Moyen (30%) Origine : Projet Euler n°119

Le nombre 512 est intéressant car il est égal à la somme de ses chiffres élevé à une certaine puissance : 5 + 1 + 2 = 8 et $$ 8^3=512$$. Un autre exemple d'un tel nombre est 614656 = $$ {28}^4$$.

On peut ainsi définir $$ a_n$$ comme le n-ième terme de cette suite de nombres en précisant que de tels nombres doivent avoir au moins 2 chiffres pour pouvoir en faire la somme.

Ainsi on a $$ a_2=512$$ et $$ a_{10}=614656$$

Trouver $$ a_{30}$$

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Restes de puissances

Difficulté : Moyen (25%) Origine : Projet Euler n°120

On note r le reste de la division euclidienne de $$ (a-1{)}^n+(a+1{)}^n$$ par $$ a^2$$.

Par exemple, si a = 7 et n = 3, alors r = 42 car $$ 6^3+8^3=728\equiv 42[49]$$. Quand n varie, alors r aussi mais pour a = 7 on a comme valeur maximum pour r : $$ r_{max}(7)=42$$

Pour 3 ≤ a ≤ 1000, trouver la somme des restes maximums pour a autrement dit la valeur de $$ \sum _{a=3}^{1000}{r}_{max}(a)$$.

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