Analisis Numérico

Introducción

Antes de iniciar el estudio de los métodos computacionales, es necesario analizar por qué se ha incrementado tanto el uso de las computadoras para el cálculo científico en las ultimas décadas. Aunque nuestro cerebro es capaz de retener y procesar un gran cantidad de información, pocos serían capaces de hacer, con precisión y suficiente rapidez una operacion tan simple como $$ 1.23454\times 6.76895$$. Sin embargo, una computadora es capaz de hacer miles o millones de estas operaciones por segundo.

Sin embargo, en el caso específico de una computadora existen dos tipos de errores en los cálculos numéricos. El primero, llamado error de truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en las fórmulas matemáticas de los modelos. El segundo, llamado error de redondeo, se asocia al número finito de dígitos con los que se representan los números en una computadora. Para el análisis de los errores de truncamiento, normalmente se utiliza la serie de Taylor, y para los errores de redondeo, se analiza la forma de almacenamiento de datos de una computadora, así como la forma de procesarlos, es decir, de hacer las operaciones.

Preliminares matemáticos

En esta sección se establecen los preliminares matemáticos necesarios para el análisis numérico. Esta revisión no es exhaustiva; sólo pretende hacer un recuento de los resultados fundamentales necesarios. Se considera que el lector ha estudiado y conoce las definiciones de límite de una función, continuidad de funciones y convergencia de sucesiones. Estos temas se pueden consultar en cualquier libro de cálculo elemental. En forma inicial se establece la siguiente notación:

Notación

• $$ C(x)$$ denota el conjunto de todas las funciones reales continuas sobre el conjunto $$ X$$.
• $$ C[a,b]$$ denota el conjunto de todas las funciones reales continuas definidas sobre el intervalo $$ [a,b]$$.
• El simbolo $$ f\in C[a,b]$$ significa $$ f:[a,b]\to R$$ es continua en el intervalo $$ [a,b]$$.
• El conjunto de todas las funciones con $$ n$$ derivadas continuas en $$ X$$ se denota por $$ C^2(X)$$.
• Si $$ f\in C^n(X)$$, la funcion $$ f$$ se dice que es de clase $$ n$$ en $$ X$$ y significa que hasta la $$ n$$ derivada de $$ f$$ existe y es continua en $$ X$$.

Series de Taylor

Las series que se presentan en las aplicaciones son las que se estudian formalmente en el cálculo elemental con el nombre de series de Taylor. Su estudio sistemático se inicia con el teorema de Taylor, el cual se puede expresar de la siguiente manera:

Código binario