Descente de gradient

13.5K views

Open Source Your Knowledge, Become a Contributor

Technology knowledge has to be shared and made accessible for free. Join the movement.

Bonjour!

Ce programme python illustre l'algorithme de descente de gradient pour rechercher un minimum local d'une fonction f d'une variable réelle.
Son principe est simple : pour trouver le minimum, il suffit d'effectuer des petits pas dans le sens de la descente, juqu'au momment où la pente s'annule.
Nous rechercherons un minimum de la fonction f telle que f(x) = (x-1)²+(1/x-2)².
Pour une fonction d'une variable, le gradient est simplement la dérivée : f'(x) = 2(x-1)+2(1/x-2)(-1/x²)
Ce programme comporte deux versions de l'algorithme :

La première utilise la dérivée analytique de f, qui doit lui être fournie
La seconde utilise une approximation numérique de cette dérivée

def f(x):
    return (x-1)**2+(1/x-2)**2
def df(x):
    return 2*(x-1) + 2*(1/x-2)*(-1/x**2)
def descente1(f, df, a, alpha=1e-2, eps=1e-9, maxIter=1000):
    # Recherche le minimum d'une fonction f par descente de gradient
    # df doit être la dérivée de f
    # a est la valeur initiale
    # alpha est le taux d'apprentissage qui détermine la rapidité de la descente (par défaut 1/100)
    # eps est la précision souhaitée (par défaut 1/1000000000)
    # maxIter est le nombre maximum d'itération (par défaut 1000)
    
    grad = df(a)
    i=0
    while abs(grad)>eps: # tant que la pente n'est pas approximativement nulle
        grad = df(a) # on calcule la pente
        a = a-alpha*grad # on effectue un petit pas vers le bas
        i += 1
        #print(i, a, grad) # décommenter cette ligne pour imprimer les itérations
        if i > maxIter:
            return None # on abandonne si le nombre d'itérations est trop élevé
    return a
def descente2(f, a, lr=1e-2, eps=1e-9, maxIter=1000):
    # Recherche le minimum d'une fonction f par descente de gradient avec dérivée numérique
    # a est la valeur initiale
    # alpha est le taux d'apprentissage qui détermine la rapidité de la descente (par défaut 1/100)
    # eps est la précision souhaitée (par défaut 1/1000000000)
    # maxIter est le nombre maximum d'itération (par défaut 1000)    
    
    grad = 1
    i=0
    while abs(grad)>eps:
        grad = (f(a+eps)-f(a-eps))/(2*eps) #approximation numérique de la dérivée
        a = a-lr*grad
        i += 1
        #print(i, a, grad) # décommenter cette ligne pour imprimer les itérations
        if i > maxIter:
            return None
    return a
print(descente1(f, df, 1))
print(descente2(f, 1))

Exercice

Comment transformer cette decente de gradient en montée, pour rechercher un maximum local ?

Open Source Your Knowledge: become a Contributor and help others learn. Create New Content

Open Source Your Knowledge, Become a Contributor

Bonjour!

Exercice

Descente de gradient (fonction de deux variables)

Méthode d'Archimede

PYTHON: BEGINNER QUIZ (10 Questions)

Stored Procedures con T-SQL